Systèmes d'équations linéaires — deux inconnues, deux indices
Une seule équation avec deux inconnues (x et y) ne suffit jamais à les trouver — il y a trop de solutions possibles. Mais avec deux équations en même temps, il n'en reste (souvent) plus qu'une seule. C'est ça, un système.
Résoudre par substitution
L'idée : on isole une inconnue dans une équation, puis on la « substitue » (remplace) dans l'autre. Il ne reste alors qu'une seule inconnue, et on sait déjà résoudre ça.
1. Isole une inconnue dans l'une des deux équations (souvent la plus simple).
2. Remplace-la par son expression dans l'AUTRE équation.
3. Résous l'équation à une inconnue obtenue, puis reviens en arrière pour trouver l'autre.
Résoudre par combinaison
Autre idée, souvent plus rapide : on additionne ou on soustrait les deux équations membre à membre, dans le but de faire disparaître une des deux inconnues.
Si les coefficients d'une inconnue sont déjà opposés (comme +y et −y), additionne les deux équations : cette inconnue s'annule toute seule. Si les coefficients sont identiques (comme 2x et 2x), soustrais-les. Sinon, multiplie une ou les deux équations par un nombre pour t'y ramener.
Interprétation graphique
Chaque équation y = mx + h est une droite. Résoudre le système, c'est trouver le point où les deux droites se croisent — puisque c'est le seul point qui vérifie les deux équations à la fois.
Les cas particuliers
La plupart du temps, un système 2×2 a exactement une solution. Mais deux autres cas existent, et ils se voient tout de suite si on pense aux droites.
Si les deux droites sont parallèles (même pente m, mais h différent), elles ne se croisent jamais. En calculant, on arrive à une contradiction du genre 0 = 5 (une égalité fausse) : c'est le signal qu'il n'y a aucune solution.
Si les deux équations décrivent en fait la même droite (l'une est un multiple de l'autre), tout point de cette droite est solution. En calculant, on arrive à une égalité toujours vraie du genre 0 = 0 : c'est le signal d'une infinité de solutions.
Les systèmes à 3 inconnues (3×3)
Avec trois inconnues (x, y, z), il faut trois équations. Le principe ne change pas : on combine deux équations à la fois pour éliminer une inconnue, jusqu'à se ramener à un système 2×2 (ou une seule équation) qu'on sait déjà résoudre.
{ x + y + z = 6 ; x − y + z = 2 ; x + y − z = 0 }
En soustrayant la 2e équation de la 1re :
2y = 4, donc y = 2.
En soustrayant la 3e de la 1re :
2z = 6, donc z = 3.
On revient dans la 1re équation :
x + 2 + 3 = 6, donc x = 1.
À toi de jouer
Cinq questions pour vérifier que les systèmes d'équations n'ont plus de secret.