Fonctions rationnelles — les fractions avec des x
Une fraction, tu sais faire. Ici, le numérateur et le dénominateur contiennent des x — et une seule chose change vraiment : il faut surveiller en permanence que le dénominateur ne devienne jamais nul. Tout le chapitre tourne autour de cette idée.
La règle numéro 1 : on ne divise jamais par zéro
Une fonction rationnelle, c'est une fraction dont le haut et le bas sont des polynômes : f(x) = p(x)q(x). Par exemple f(x) = x − 12x + 2.
Le problème, c'est que certaines valeurs de x rendent le dénominateur nul — et diviser par zéro, ça n'existe pas. Ces valeurs sont interdites. Toutes les autres forment l'ensemble de définition.
L'ensemble de définition ED(f) d'une fonction rationnelle, c'est tous les nombres réels sauf ceux qui annulent le dénominateur.
On l'écrit par exemple ED = ℝ \ {−1}, qui se lit « tous les réels privés de −1 ».
Pour f(x) = x − 12x + 2, on cherche quand 2x + 2 = 0, c'est-à-dire x = −1.
ED = ℝ \ {−1}Le réflexe : on cherche l'ensemble de définition tout au début, avant même de commencer à calculer. Toujours.
Si le dénominateur n'est pas déjà factorisé, factorise-le d'abord : les valeurs interdites sautent alors aux yeux. Pour x² − 9 = (x − 3)(x + 3), on voit tout de suite que x = 3 et x = −3 sont interdites.
À quoi ressemblent leurs graphes ?
La forme la plus simple est f(x) = 1x : deux branches séparées qui s'approchent des axes sans jamais les toucher. On appelle cette courbe une hyperbole. En déplaçant et en étirant cette courbe de base, on obtient toutes les autres.
Pour f(x) = ax − h + k :
• L'asymptote verticale est la droite x = h :
c'est la valeur interdite, celle qui annule le dénominateur.
• L'asymptote horizontale est la droite y = k :
quand x devient énorme, la fraction devient minuscule et
il ne reste que k.
Simplifier une fraction rationnelle
Simplifier, c'est diviser le haut et le bas par la même chose. Mais avec des x, on ne peut simplifier que des facteurs (des choses multipliées), jamais des termes additionnés. D'où la méthode : factoriser d'abord, simplifier ensuite.
x + 3x ≠ 3 — on ne peut pas barrer le x du haut avec celui du bas, parce qu'en haut il est additionné, pas multiplié !
En revanche 3xx = 3 est correct (pour x ≠ 0) : là, le x est bien un facteur.
L'ensemble de définition se lit sur la fraction de départ, jamais sur la fraction simplifiée. Simplifier ne « répare » pas une valeur interdite : elle reste interdite pour toujours.
x² − 4x − 2 = (x − 2)(x + 2)x − 2 = x + 2 avec x ≠ 2Multiplier et diviser
C'est la partie facile ! Les règles sont exactement celles des fractions de nombres, apprises il y a longtemps.
Multiplier : haut × haut, bas × bas.
ab · cd = a · cb · dDiviser : on multiplie par l'inverse de la deuxième (« on retourne et on multiplie »).
ab ÷ cd = ab · dcNe développe surtout pas ! Laisse tout sous forme de produits de parenthèses : c'est comme ça qu'on voit ce qui se simplifie. Développer, c'est se compliquer la vie pour rien.
Quand on divise par cd, il faut que c ≠ 0 aussi ! Le numérateur de la deuxième fraction devient un dénominateur : ses zéros s'ajoutent donc à la liste des valeurs interdites.
Additionner et soustraire
Là, il faut un dénominateur commun — comme pour ½ + ⅓, où l'on passe par des sixièmes. La seule difficulté, c'est de trouver le plus petit dénominateur commun, et pour ça on commence toujours par factoriser tous les dénominateurs.
1. Même dénominateur → on additionne les numérateurs : ad + bd = a + bd
2. Aucun facteur commun → on multiplie les dénominateurs : ac + bd = ad + bccd
3. Des facteurs communs → on prend le plus petit multiple commun : chaque facteur, une seule fois, à sa plus grande puissance.
Quand tu soustrais une fraction, le signe moins s'applique à tout le numérateur. Mets-le entre parenthèses :
… − 2 − xd = … + −(2 − x)d = … + x − 2dLes équations rationnelles
1. Factoriser tous les dénominateurs et écrire
ED.
2. Tout ramener d'un seul côté sous la forme
p(x)q(x) = 0.
3. Une fraction est nulle uniquement quand son
numérateur est nul → résoudre p(x) = 0.
4. Éliminer les solutions qui sont des valeurs
interdites.
Une fraction vaut zéro seulement si le haut vaut zéro (le bas, lui, ne peut jamais être nul, il est interdit de l'être !). C'est le même raisonnement que 0/5 = 0 mais 5/0 qui n'existe pas.
On peut faire tous les calculs parfaitement et trouver un nombre… qui n'est pas une solution ! Si le résultat tombe sur une valeur interdite, il faut le rejeter et l'ensemble de solutions peut très bien être vide : S = ∅. D'où l'importance de l'étape 1.
Les inéquations rationnelles
On ne multiplie JAMAIS les deux côtés d'une inéquation par un dénominateur qui contient x.
Pourquoi ? Parce qu'on ne sait pas si ce dénominateur est positif ou négatif : selon le cas, il faudrait garder ou inverser le sens de l'inégalité — et on ne peut pas choisir !
Exemple qui fait mal : de 1x < 2, si on multiplie par x on obtient 1 < 2x donc x > ½. Mais teste x = −1 : 1/(−1) = −1 < 2 ✓ ! La vraie solution est ]−∞ ; 0[ ∪ ]½ ; +∞[.
1. Écrire ED.
2. Tout ramener d'un côté :
p(x)q(x) > 0
(ou <, ≥, ≤).
3. Factoriser le haut et le bas au maximum.
4. Tableau de signes, et on lit la réponse.
Pour le signe, un facteur du dénominateur compte exactement comme un facteur du numérateur (moins ÷ moins = plus, comme moins × moins).
Mais aux zéros, tout change :
• zéro du numérateur → on écrit 0. Il fait
partie de la solution si l'inégalité est large
(≥ ou ≤).
• zéro du dénominateur → on écrit une double
barre ‖. Il est toujours exclu, même avec
≥ ou ≤.
Résoudre x² − 5x + 6x³ + 2x² − x − 2 > 0
Haut : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
(somme 5, produit 6).
Bas : par groupements,
x²(x + 2) − 1(x + 2) = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).
Donc ED = ℝ \ {−2 ; −1 ; 1},
et on étudie le signe de
(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 1)(x − 1)
avec les valeurs remarquables −2, −1, 1, 2, 3.
À quoi ça sert ?
Les fonctions rationnelles décrivent tout ce qui « sature » : une quantité qui grandit puis se stabilise, une densité qui décroît, un dosage qui s'ajuste.
En médecine, pour adapter à un enfant une dose prévue pour un adulte (100 mg ici), on utilise :
D(t) = 100 tt + 12 pour 0 < t < 18où t est l'âge de l'enfant en années.
« À quel âge la dose est-elle de 40 mg ? » → on résout 100t / (t + 12) = 40, soit 100t = 40t + 480, donc 60t = 480 et t = 8 ans.
« Quand la dose dépasse-t-elle 50 mg ? » → ici t + 12 > 0 toujours (car t > 0), donc on peut multiplier sans risque : 100t > 50t + 600, soit t > 12. Entre 12 et 18 ans.
À toi de jouer
Six questions. Prends le temps de vérifier l'ensemble de définition à chaque fois !