Fonctions du 2e degré — les paraboles
Quand x est élevé au carré, les droites se courbent : bienvenue dans le monde des paraboles, la courbe des ballons de foot et des jets d'eau.
Les paraboles
Une fonction du 2e degré, c'est une fonction avec un x² : f(x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0). Son graphe s'appelle une parabole : une belle courbe en « U » — ou en « ∩ » — parfaitement symétrique.
Le signe de a donne le sens de la parabole : a > 0 → elle sourit ∪ (ouverte vers le haut) ; a < 0 → elle fait la grimace ∩ (ouverte vers le bas). Plus |a| est grand, plus elle est étroite.
Le point le plus bas (ou le plus haut) s'appelle le sommet S. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par le sommet : son axe de symétrie.
Il existe une façon d'écrire la fonction qui montre directement le sommet : la forme canonique.
f(x) = a(x − α)² + β ⟹ sommet S(α ; β), axe de symétrie x = α
Attention au piège de signe : dans (x − α)², si tu lis (x − 3)² alors α = 3 ; si tu lis (x + 2)², c'est (x − (−2))² donc α = −2.
Résoudre ax² + bx + c = 0
Chercher quand une parabole vaut zéro, c'est chercher où elle coupe l'axe horizontal. Il y a plusieurs outils ; ton cours en présente quatre. L'idée générale : factoriser, c'est-à-dire transformer la somme en un produit, car un produit vaut zéro dès qu'un de ses facteurs vaut zéro.
1. Les produits remarquables
Trois identités à reconnaître à vue : a² + 2ab + b² = (a + b)², a² − 2ab + b² = (a − b)² et a² − b² = (a − b)(a + b).
x² − 9 = 0 ? C'est x² − 3², donc (x − 3)(x + 3) = 0, et les solutions sont x = 3 et x = −3.
2. La somme-produit (pour x² + px + q)
Quand le coefficient de x² vaut 1, on cherche deux nombres dont le produit vaut q et la somme vaut −p.
x² − 5x + 6 = 0 : on cherche deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme vaut 5 → 2 et 3 ! Donc (x − 2)(x − 3) = 0 et les solutions sont x = 2 et x = 3.
3. Compléter le carré
L'idée : transformer x² + bx en un carré presque parfait. Géométriquement, x² est un carré de côté x et bx est un rectangle. En coupant le rectangle en deux et en collant les moitiés autour du carré, il ne manque qu'un petit coin de côté b/2 pour former un grand carré : on l'ajoute et on l'enlève.
x² + 6x + 5 = 0 → on complète : x² + 6x + 9 − 9 + 5 = 0, c'est-à-dire (x + 3)² − 4 = 0, donc (x + 3)² = 4 et x + 3 = ±2 : solutions x = −1 et x = −5.
La formule avec Δ — celle qui marche toujours
Les méthodes précédentes demandent de « voir » l'astuce. La formule du discriminant, elle, fonctionne à tous les coups, sans réfléchir. C'est ta ceinture de sécurité.
Pour ax² + bx + c = 0, on calcule le discriminant :
Δ = b² − 4acEnsuite, trois cas possibles :
• Δ > 0 : deux solutions
x = −b ± Δ2a
(la parabole coupe l'axe x deux fois)
• Δ = 0 : une solution
x = −b2a
(la parabole touche l'axe en un seul point, son sommet)
• Δ < 0 : aucune solution réelle
(la parabole flotte au-dessus ou en dessous de l'axe sans jamais le toucher)
2x² − 3x − 2 = 0 : Δ = (−3)² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25 > 0, donc deux solutions : x = 3 ± 54, c'est-à-dire x = 2 ou x = −12.
Prends bien b et c avec leur signe ! Dans 2x² − 3x − 2, on a b = −3 et c = −2 : −4ac = −4 · 2 · (−2) = +16, pas −16. Un signe oublié change tout le résultat.
Les inéquations du 2e degré
Résoudre ax² + bx + c > 0, c'est demander : « où est-ce que la parabole est au-dessus de l'axe x ? » Deux étapes : on trouve les racines (là où elle coupe l'axe), puis on regarde le dessin.
Un trinôme ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines.
Retenir avec le dessin : si a > 0, la parabole sourit ∪ — elle est positive sur les côtés et plonge sous l'axe entre ses deux racines.
x² − 5x + 6 < 0 : les racines sont 2 et 3, et a = 1 > 0. Le trinôme est négatif entre les racines : S = ]2 ; 3[.
Pas besoin d'apprendre le tableau par cœur : fais toujours un petit croquis de la parabole (sens ∪ ou ∩ + les racines) et lis la réponse directement sur ton dessin.
Les équations « maquillées »
Certaines équations ne ressemblent pas à des équations du 2e degré… mais elles le sont en cachette. Deux déguisements classiques :
Les équations bicarrées : x⁴ et x²
Le truc : poser X = x². Alors x⁴ = X² et l'équation devient une simple équation du 2e degré en X.
x⁴ − 13x² + 36 = 0 : avec X = x², on obtient X² − 13X + 36 = 0, dont les solutions sont X = 4 et X = 9. On revient à x : x² = 4 → x = ±2 ; x² = 9 → x = ±3. Quatre solutions : −3, −2, 2, 3.
Les équations avec des racines carrées
Le truc : isoler la racine carrée puis élever au carré les deux côtés pour la faire disparaître.
Élever au carré peut créer de fausses solutions ! Après avoir résolu, il faut vérifier chaque solution dans l'équation de départ et jeter celles qui ne marchent pas. C'est le piège préféré des examens.
À quoi ça sert ?
Dès qu'un problème parle d'aires, de dimensions multipliées entre elles ou de chute d'un objet, un x² apparaît — et donc une équation du 2e degré. La méthode est toujours la même : on nomme l'inconnue, on traduit l'énoncé en équation, on résout, puis on vérifie que la solution a un sens (une longueur négative, ça n'existe pas !).
Un terrain rectangulaire de 26 m × 30 m est entouré d'un trottoir de largeur constante x. L'aire du trottoir vaut 240 m². Quelle est sa largeur ?
Le grand rectangle (terrain + trottoir) mesure (26 + 2x) sur (30 + 2x) : on ajoute x de chaque côté, d'où le 2x. L'aire du trottoir, c'est le grand rectangle moins le terrain :
(26 + 2x)(30 + 2x) − 26 · 30 = 240 4x² + 112x − 240 = 0 ⟹ x² + 28x − 60 = 0 Δ = 784 + 240 = 1024 ⟹ √Δ = 32 ⟹ x = −28 ± 322On trouve x = 2 ou x = −30. Une largeur négative n'existe pas : le trottoir mesure 2 m.
Un rectangle est dit d'or si, en lui retirant un carré, le rectangle qui reste a exactement les mêmes proportions que le premier. Avec une largeur de 1 et une longueur L :
L1 = 1L − 1 ⟹ L(L − 1) = 1 ⟹ L² − L − 1 = 0 Δ = 1 + 4 = 5 ⟹ L = 1 + √52 ≈ 1,618Ce nombre s'appelle le nombre d'or, noté φ (phi). On le retrouve dans le Parthénon, chez Léonard de Vinci, dans les coquillages et les tournesols. Et il sort tout simplement… d'une équation du 2e degré.
À toi de jouer
Cinq questions sur les paraboles. Respire, tu as tout ce qu'il faut au-dessus.