Puissances et racines — plier les nombres en accordéon
Une puissance, c'est juste une multiplication répétée écrite en raccourci. Une racine carrée fait exactement l'inverse. Une fois qu'on a quelques règles bien en tête, on peut jongler avec les deux sans jamais sortir la calculatrice.
Les règles des puissances
an veut dire « multiplier a par lui-même, n fois ». Quatre règles suffisent pour manipuler n'importe quelle puissance.
am · an = am+n
(même base : on additionne les exposants)
am / an = am−n
(même base : on soustrait les exposants)
(am)n = am·n
(puissance d'une puissance : on multiplie les exposants)
a0 = 1 (a ≠ 0) ·
a−n = 1 / an
(un exposant négatif « passe au dénominateur »)
23 · 2−2 = 23+(−2) = 21 = 2. Vérification directe : 2³ = 8 et 2⁻² = 1/4, donc 8 · 1/4 = 2 ✓
Calculs avec des racines
La racine carrée fait l'inverse du carré : √a est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a. On peut « séparer » une racine sur un produit, ce qui permet de simplifier des racines qui n'ont pas l'air d'être des nombres ronds.
√(a · b) = √a · √b (a, b ⩾ 0) — c'est la
règle clé pour simplifier une racine.
√a / √b = √(a/b) (a ⩾ 0, b > 0)
√a + √b ≠ √(a + b) ! La racine ne se « distribue » que sur un produit, jamais sur une somme. √16 + √9 = 4 + 3 = 7, alors que √(16+9) = √25 = 5 — ce n'est pas le même résultat.
La fonction racine carrée
f(x) = √x n'existe que pour x ⩾ 0 (on ne peut pas prendre la racine d'un nombre négatif). Son graphe démarre à l'origine et grimpe de plus en plus lentement.
Pour g(x) = √(x − h), il faut x − h ⩾ 0, donc x ⩾ h : le domaine est [h ; +∞[.
La fonction valeur absolue
|x| (« valeur absolue de x ») est la distance entre x et 0 : toujours positive ou nulle, jamais négative. Le graphe de f(x) = |x| a la forme d'un V bien net.
|x| = x si x ⩾ 0 · |x| = −x si x < 0. Dans les deux cas, le résultat est positif.
À toi de jouer
Cinq questions pour vérifier que les puissances et les racines n'ont plus de secret.