Trigonométrie — les maths du cercle
Sinus, cosinus, tangente : trois mots qui font peur, et qui ne sont pourtant que des rapports entre les côtés d'un triangle. Une fois qu'on les a posés sur un cercle, ils racontent tout ce qui tourne, oscille et se répète : les roues, les marées, le son, les saisons.
Le triangle rectangle : SOH-CAH-TOA
Voici le point de départ de toute la trigonométrie, et il est étonnamment simple. Prends un triangle rectangle. Si tu l'agrandis ou le rétrécis sans changer ses angles, les longueurs changent… mais les rapports entre les côtés ne changent pas du tout.
Autrement dit : ce rapport ne dépend que de l'angle. C'est exactement ça, le sinus, le cosinus et la tangente : des nombres attachés à un angle.
Pour un angle aigu α dans un triangle rectangle :
sin(α) = côté opposéhypoténuse cos(α) = côté adjacenthypoténuse tan(α) = côté opposécôté adjacentSOH — CAH — TOA
Sinus = Opposé / Hypoténuse · Cosinus = Adjacent / Hypoténuse · Tangente = Opposé / Adjacent
Le vocabulaire : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté, celui en face de l'angle droit. Le côté opposé est celui d'en face de l'angle α, et l'adjacent est celui qui touche α (sans être l'hypoténuse).
« Résoudre un triangle », c'est calculer tout ce qui n'est pas donné : côtés, angles, aire. Exemple : triangle rectangle en C, avec b = 8,2 et α = 37°.
L'angle qui manque : les angles d'un triangle font 180°, et
l'un vaut 90°, donc β = 90° − 37° = 53°.
Le côté a : par rapport à
α, a est l'opposé et
b l'adjacent → on utilise la tangente :
tan(37°) = a / 8,2, donc
a = 8,2 · tan(37°) ≈ 6,18.
L'hypoténuse c :
cos(37°) = 8,2 / c, donc
c = 8,2 / cos(37°) ≈ 10,27.
L'aire : A = (a · b) / 2 ≈ 25,3.
Face à un exercice, demande-toi : « quels côtés sont en jeu ? » Opposé + hypoténuse → sinus. Adjacent + hypoténuse → cosinus. Opposé + adjacent → tangente. Et si tu connais deux côtés et que tu cherches l'angle, tu utilises les touches sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ de la calculatrice.
Mesurer les angles : degrés et radians
Pourquoi 360 degrés dans un tour ? On le doit à un Babylonien anonyme, il y a environ 4000 ans. 360 a beaucoup de diviseurs (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12…), ce qui est bien pratique, et les Babyloniens comptaient en base 60 — c'est pour ça que le degré se découpe en 60 minutes (') et la minute en 60 secondes (").
Un radian, c'est l'angle qui « découpe » sur le cercle un arc aussi long que le rayon. Prends une ficelle de la longueur du rayon, pose-la le long du cercle : l'angle que tu vois depuis le centre, c'est 1 radian.
Comme le tour complet mesure 2πr, il faut 2π ≈ 6,28 ficelles pour faire le tour. D'où :
un tour complet = 360° = 2π rad ⟹ 180° = π radIl n'y a qu'une seule chose à retenir : 180° = π. Tout le reste est une règle de trois.
Degrés → radians : on multiplie par π180. Exemple : 60° = 60 · π180 = π3.
Radians → degrés : on multiplie par 180π. Exemple : 3π4 = 3 · 1804 = 135°.
| degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| radians | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | π | 3π2 | 2π |
Longueur d'arc et aire d'un secteur
Voici la vraie raison pour laquelle les radians existent : avec eux, les formules deviennent ridiculement simples.
ℓ est la longueur de l'arc, A l'aire du secteur (la « part de pizza »), et r le rayon.
Ces deux formules ne marchent QUE si α est en radians. Avec des degrés, le résultat est faux d'un facteur ≈ 57. Le réflexe : dès qu'on voit ℓ = rα ou A = ½r²α, on convertit d'abord.
Le cercle trigonométrique
Jusqu'ici, sinus et cosinus n'existaient que pour des angles entre 0° et 90° (les angles d'un triangle rectangle). Le cercle trigonométrique sert à les définir pour tous les angles : 120°, 250°, −40°, 1000°…
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. On part de l'axe horizontal positif et on tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est le sens positif). L'angle α désigne un point M sur le cercle, et alors :
• cos(α) = l'abscisse de
M (sa position horizontale)
• sin(α) = l'ordonnée de
M (sa position verticale)
• tan(α) = l'ordonnée du point
T, où la droite OM prolongée
coupe la tangente verticale au point
(1 ; 0)
1. Sinus et cosinus sont toujours entre −1 et 1. Le point M est sur un cercle de rayon 1 : il ne peut pas aller plus loin ! −1 ≤ sin(α) ≤ 1 et −1 ≤ cos(α) ≤ 1.
2. sin²(α) + cos²(α) = 1. C'est Pythagore dans le triangle formé par O, M et sa projection : les deux côtés valent cos(α) et sin(α), et l'hypoténuse est le rayon, qui vaut 1.
3. tan(α) = sin(α)cos(α). Et donc la tangente n'existe pas quand cos(α) = 0, c'est-à-dire en 90°, 270°, etc. — sur le dessin, la droite OM est alors verticale : elle ne coupe jamais la tangente.
4. Tourner d'un tour complet ne change rien. cos(α + 2π) = cos(α) et sin(α + 2π) = sin(α) : on retombe sur le même point.
Les deux axes découpent le cercle en 4 quadrants, numérotés I, II, III, IV dans le sens de rotation. Un moyen mnémotechnique pour savoir qui est positif :
I : tout est positif · II : seul le sinus · III : seule la tangente · IV : seul le cosinus.
Les valeurs exactes à connaître
Cinq angles reviennent sans arrêt. Leurs valeurs se démontrent avec le triangle équilatéral (pour 30° et 60°) et le carré (pour 45°) — mais il faut surtout les avoir en tête.
| degrés | radians | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π6 | 12 | √32 | √33 |
| 45° | π4 | √22 | √22 | 1 |
| 60° | π3 | √32 | 12 | √3 |
| 90° | π2 | 1 | 0 | non définie |
Pour sin, écris dans l'ordre √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 pour 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Ça donne 0, ½, √2/2, √3/2, 1. Et pour cos, c'est exactement la même liste… à l'envers !
On se ramène toujours au premier quadrant grâce au cercle. Exemple : sin(7π/6). L'angle 7π/6 = 210° est dans le 3e quadrant, à 30° après 180°. Dans ce quadrant, sinus et cosinus sont négatifs. Donc :
sin(210°) = −sin(30°) = −½ · cos(210°) = −cos(30°) = −√32 · tan(210°) = +√33(La tangente est positive : moins divisé par moins donne plus. Ça colle avec la règle des quadrants.)
Les graphes : quand le cercle se déroule
Voici la plus belle idée du chapitre. Fais tourner le point sur le cercle, et note sa hauteur au fur et à mesure. En déroulant l'angle sur un axe horizontal, la courbe qui apparaît, c'est la fonction sinus. Le cosinus, c'est pareil avec la position horizontale.
• sin et cos ondulent
gentiment entre −1 et 1, et
se répètent tous les 2π : on dit qu'elles sont
périodiques de période 2π.
• Elles ont exactement la même forme, simplement décalées de
π/2 l'une par rapport à l'autre.
• tan, elle, est périodique de période
π et part à l'infini à chaque fois que
cos passe par zéro.
|a| = l'amplitude : la hauteur des
vagues.
b commande la
période, qui vaut 2π / b : plus
b est grand, plus les vagues sont serrées.
c produit un
décalage horizontal de −c / b.
Le triangle quelconque
Et si le triangle n'a pas d'angle droit ? Pas de panique : trois théorèmes suffisent pour tout calculer. Notation habituelle : le côté a est en face de l'angle α, b en face de β, c en face de γ.
En clair : l'aire, c'est la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l'angle qui est entre eux.
Quand l'utiliser : quand tu connais un côté et l'angle qui lui fait face, plus une autre information. C'est une simple règle de trois.
Quand l'utiliser : quand tu connais deux côtés et l'angle entre eux (pour trouver le troisième côté), ou les trois côtés (pour trouver un angle).
Regarde bien : si α = 90°, alors cos(α) = 0 et il reste a² = b² + c²… c'est Pythagore ! Ce théorème est donc juste Pythagore avec un terme de correction quand l'angle n'est pas droit.
La calculatrice, avec sin⁻¹, ne te donne jamais un angle obtus (elle répond toujours entre 0° et 90°). Or sin(130°) = sin(50°) : deux angles différents, même sinus !
La parade : pour trouver un angle, préfère le théorème du cosinus — lui distingue sans ambiguïté (le cosinus est négatif pour un angle obtus). Ou vérifie que ton résultat est cohérent : le plus grand angle est toujours en face du plus grand côté.
À toi de jouer
Sept questions pour boucler l'année. Bonne chance !