Fonctions polynomiales — les courbes qui ondulent
Après les droites (degré 1) et les paraboles (degré 2), on monte d'un cran : x³, x⁴… Bonne nouvelle : tout ce que tu sais déjà continue de marcher. Il suffit d'ajouter deux outils magiques — la factorisation et le tableau de signes.
C'est quoi, un polynôme ?
Un polynôme, c'est une addition de « briques ». Chaque brique est un nombre multiplié par une puissance de x : 5x³, −2x², 7x, −4… On les empile, et c'est tout. Pas de x au dénominateur, pas de x sous une racine : juste des puissances entières.
La fonction f(x) = cnxn + cn−1xn−1 + … + c1x + c0 (avec cn ≠ 0) est une fonction polynomiale de degré n.
Les nombres cn, …, c1, c0 s'appellent les coefficients. Le degré, c'est simplement la plus grande puissance de x qui est vraiment là (celle dont le coefficient n'est pas nul).
p(x) = x² + x + 2 → degré 2,
avec c2 = 1, c1 = 1,
c0 = 2.
q(x) = x³ − 2x² − x → degré 3,
avec c3 = 1, c2 = −2,
c1 = −1, c0 = 0.
Et si on les additionne ? (p + q)(x) = x³ − x² + 2 — on range simplement les briques de même puissance ensemble. Ici c2 = 1 + (−2) = −1.
Pour multiplier deux polynômes, le degré du résultat est la somme des degrés : degré 3 × degré 2 = degré 5. Pas besoin de tout développer pour connaître le degré !
Les fonctions du 3e degré
La star du chapitre, c'est f(x) = c3x³ + c2x² + c1x + c0. Sa courbe a une allure caractéristique : elle ressemble à un S couché, elle vient de très bas et repart vers le très haut (ou l'inverse si c3 est négatif).
Une fonction du 3e degré coupe toujours l'axe des x : elle a entre 1 et 3 zéros.
Pourquoi « toujours » ? Parce qu'elle part de −∞ d'un côté et va vers +∞ de l'autre : pour passer du négatif au positif, elle est bien obligée de traverser le zéro quelque part !
Un zéro (on dit aussi une racine) d'une fonction, c'est une valeur de x pour laquelle f(x) = 0 : autrement dit un point où la courbe touche l'axe horizontal. Les chercher, c'est résoudre l'équation f(x) = 0.
Résoudre par factorisation
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Si A · B · C = 0, alors A = 0 ou B = 0 ou C = 0. C'est logique : pour que le produit de plusieurs nombres soit nul, il faut bien qu'au moins l'un d'eux le soit.
Conséquence : toute la stratégie consiste à transformer l'équation en produit égal à zéro. Une fois factorisée, l'équation se résout presque toute seule.
Méthode 1 — la mise en évidence
On repère ce qui est commun à tous les termes et on le sort du lot, comme on mettrait en facteur commun.
Tous les termes contiennent un x : on le met en évidence.
x(x² + x − 2) = 0Le contenu de la parenthèse est un trinôme du 2e degré : on le factorise avec la somme-produit du chapitre 2 (somme = 1, produit = −2 → les nombres 2 et −1).
x(x + 2)(x − 1) = 0Trois facteurs, donc trois candidats : S = {−2 ; 0 ; 1}.
Méthode 2 — les groupements
Quand il y a 4 termes et rien de commun aux quatre, on les regroupe 2 par 2 : on met en évidence dans chaque paire, et si on a bien joué, une parenthèse identique apparaît des deux côtés.
Ne divise jamais les deux côtés par x ! Dans x³ + x² − 2x = 0, si tu divises par x, tu perds la solution x = 0. On met en évidence, on ne simplifie pas.
Les produits remarquables du 3e degré
Tu connais déjà (A + B)² = A² + 2AB + B². Il en existe quatre nouveaux avec des cubes. Ils servent à reconnaître une forme et à la factoriser d'un coup d'œil, sans calcul.
Deux termes seulement, tous deux des cubes parfaits (8 = 2³, 27 = 3³, 125 = 5³, x³, 27x³ = (3x)³) → c'est A³ ± B³.
Quatre termes avec des coefficients 1, 3, 3, 1 → c'est un cube (A ± B)³. Les signes alternent (+ − + −) quand c'est un moins.
27x³ + 8 : ici A = 3x (car (3x)³ = 27x³) et B = 2 (car 2³ = 8). Donc
27x³ + 8 = (3x + 2)(9x² − 6x + 4)x³ − 6x² + 12x − 8 : quatre termes, coefficients 1, 6, 12, 8 et signes alternés. Avec A = x et B = 2 : 3A²B = 6x² ✓, 3AB² = 12x ✓, B³ = 8 ✓. Donc
x³ − 6x² + 12x − 8 = (x − 2)³La division de polynômes
Parfois, aucune astuce ne marche : ni mise en évidence, ni groupement, ni produit remarquable. Il reste alors une méthode qui marche toujours, à condition de connaître une racine : la division de polynômes. C'est exactement la division que tu poses depuis l'école primaire, mais avec des x.
Comme avec les nombres : 1732 = 346 · 5 + 2. On dit que F est divisible par G quand le reste vaut 0 — c'est le cas intéressant, parce qu'alors F(x) = Quotient · G(x) est factorisé !
Les deux polynômes doivent être rangés par puissances décroissantes, et il ne doit manquer aucune puissance : s'il manque un x², on écrit 0x² à sa place. Sinon, les colonnes se décalent et tout part de travers.
Trouver une racine : le truc du reste & les suspects
Pour diviser, encore faut-il savoir par quoi ! Deux théorèmes très courts te donnent la réponse.
Le reste de la division de F(x) par x − a vaut tout simplement F(a).
Conséquence directe et très utile :
F(a) = 0 ⟺ F(x) est divisible par x − a
Traduction : chaque racine te donne un facteur. Si F(2) = 0, alors (x − 2) est en facteur dans F(x).
Si un polynôme à coefficients entiers a une racine entière a, alors a est forcément un diviseur du terme constant c0.
Autrement dit : au lieu de tester au hasard, tu n'as qu'une petite liste de suspects à interroger. Pour x³ + 4x² + x − 6, on a c0 = −6 : les suspects sont ±1, ±2, ±3, ±6. Huit essais maximum, et souvent le bon arrive tout de suite.
Résoudre 2x³ + x² − 7x − 6 = 0 :
1. Suspects = diviseurs de 6 : ±1, ±2, ±3, ±6.
2. On teste : F(−1) = −2 + 1 + 7 − 6 = 0 ✓
→ (x + 1) est un facteur.
3. On divise : (2x³ + x² − 7x − 6) ÷ (x + 1) = 2x² − x − 6.
4. On factorise le reste (2e degré, donc Δ ou
tâtonnement) : 2x² − x − 6 = (2x + 3)(x − 2).
5. Conclusion :
(x + 1)(2x + 3)(x − 2) = 0, donc
S = {−32 ; −1 ; 2}.
Le tableau de signes
Le tableau de signes est l'outil le plus rentable de l'année : il te dit où la fonction est positive et où elle est négative. Avec ça, tu peux esquisser un graphe en 30 secondes et résoudre n'importe quelle inéquation.
1. Factoriser au maximum (c'est indispensable :
on ne connaît le signe que d'un produit de facteurs simples).
2. Trouver les zéros de chaque facteur et les
ranger du plus petit au plus grand : ce sont les colonnes du tableau.
3. Sur chaque ligne, marquer le signe du facteur
(un facteur x − a est −
avant a et + après).
4. Multiplier les signes colonne par colonne, comme une règle
des signes géante.
Un facteur au carré, comme (x + 2)², est toujours positif (ou nul). Au passage de son zéro, la fonction touche l'axe sans changer de signe : la courbe rebondit au lieu de traverser.
x³ + 3x² > 2x + 6
1. Tout ramener d'un côté (jamais de division par un truc qui
contient x !) :
x³ + 3x² − 2x − 6 > 0.
2. Factoriser par groupements :
x²(x + 3) − 2(x + 3) = (x + 3)(x² − 2), soit
(x + 3)(x − √2)(x + √2) > 0.
3. Tableau de signes avec les zéros
−3, −√2 ≈ −1,41,
√2 ≈ 1,41, puis on garde les colonnes
+ :
À toi de jouer
Six questions pour vérifier que tout est en place. Chaque réponse vient avec son explication.