Fonctions du 1er degré — les droites
On commence les fonctions par les droites : elles sont les fonctions les plus simples qui existent, et tu vas voir qu'on peut déjà raconter plein d'histoires avec.
Les droites : f(x) = mx + h
Une fonction, c'est une machine : tu lui donnes un nombre x, elle te rend un nombre f(x). Avec les fonctions du 1er degré, la machine fait juste deux choses : elle multiplie x par un nombre m, puis ajoute un nombre h. Et quand on dessine le résultat, on obtient toujours… une droite.
La fonction f(x) = mx + h est appelée
fonction affine. Son graphe est une droite qui passe par
le point H(0 ; h).
Si h = 0 (donc f(x) = mx),
on parle de fonction linéaire : la droite passe alors par
l'origine (0 ; 0).
Les deux nombres m et h ont chacun un rôle bien précis :
m = la pente (on dit aussi « le taux d'accroissement »). Imagine que tu fais du vélo le long de la droite, de gauche à droite : si m > 0 ça monte, si m < 0 ça descend, si m = 0 c'est plat. Plus |m| est grand, plus la côte est raide. Concrètement : quand x augmente de 1, f(x) change de m.
h = l'ordonnée à l'origine. C'est le « point de départ » : la valeur de f(x) quand x = 0. Autrement dit, l'endroit où la droite coupe l'axe vertical.
f(x) = 2x + 3 : la pente vaut m = 2
(ça monte : quand x augmente de 1,
f(x) monte de 2) et la droite coupe l'axe
y en h = 3.
Vérifions : f(0) = 2 · 0 + 3 = 3 ✓ et
f(1) = 2 · 1 + 3 = 5 — on a bien monté de 2.
Les équations
Résoudre une équation, c'est répondre à la question : « pour quelle valeur de x est-ce que ça marche ? » Par exemple, résoudre 3x + 2 = 8 revient à chercher quel nombre, multiplié par 3 puis augmenté de 2, donne 8.
Une équation, c'est une balance en équilibre. Elle le reste tant que tu fais exactement la même chose des deux côtés : ajouter 5 à gauche et à droite, enlever 2x des deux côtés, diviser les deux côtés par 3… Le but : isoler x tout seul d'un côté.
La solution est x = 2. Vérification : 3 · 2 + 2 = 8 ✓
Quand il y a des x des deux côtés, on commence par les rassembler d'un même côté : 5x − 3 = 2x + 6 ⟹ on enlève 2x partout : 3x − 3 = 6, puis on continue comme d'habitude (x = 3).
Attention aux signes quand on déplace les termes ! En fait, « déplacer +3 de l'autre côté » veut dire « enlever 3 des deux côtés » — c'est pour ça que le signe change. Si tu comprends la balance, tu ne te tromperas plus jamais.
Les inéquations
Une inéquation ressemble à une équation, mais au lieu de = on a <, ≤, > ou ≥. La question devient : « pour quelles valeurs de x est-ce que c'est plus grand (ou plus petit) ? ». La réponse n'est plus un seul nombre, mais tout un intervalle.
On résout une inéquation exactement comme une équation, avec une seule règle en plus :
Si on multiplie ou on divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
< devient >, ≤ devient ≥. C'est logique : 2 < 5, mais en multipliant par −1, −2 > −5 (sur la droite des nombres, −2 est à droite de −5).
La solution est l'intervalle S = [−2 ; +∞[.
Un crochet fermé [ veut dire « la valeur au bord est incluse » (pour ≤ et ≥). Un crochet ouvert ] veut dire « excluse » (pour < et >). Du côté de −∞ et +∞, le crochet est toujours ouvert : l'infini n'est pas un nombre, on ne peut jamais « l'atteindre ».
À quoi ça sert ?
Les droites décrivent tout ce qui évolue à vitesse constante : un tarif de taxi, un abonnement de téléphone, la température qui monte régulièrement… Le mot-clé à repérer dans un problème : « par » (2 CHF par kilomètre, 30 CHF par mois) — c'est la pente.
Deux abonnements de téléphone :
• Plan A : 15 CHF de base + 0,10 CHF par minute →
A(x) = 0,1x + 15
• Plan B : 25 CHF, tout illimité →
B(x) = 25
Pour quel usage le plan A devient-il plus cher que le B ? On résout 0,1x + 15 > 25 : 0,1x > 10, donc x > 100. À partir de 100 minutes par mois, le plan B est plus avantageux.
Face à un problème concret, fais trois choses dans l'ordre : 1. repère ce qui varie (c'est x) ; 2. écris la fonction (prix fixe = h, prix « par unité » = m) ; 3. traduis la question posée en équation ou en inéquation.
Les fonctions définies par morceaux
Parfois, la règle change selon la valeur de x : on définit alors la fonction par morceaux. C'est le cas des parkings : la première heure coûte un prix fixe, puis on paie en plus pour chaque heure suivante.
Parking : 4 CHF pour la première heure (incluse), puis 2 CHF par heure supplémentaire :
f(x) = { 4 si 0 ≤ x ≤ 1 ; 4 + 2(x − 1) si x > 1Pour 30 minutes (x = 0,5) : on est dans le premier morceau → 4 CHF. Pour 3 heures (x = 3) : deuxième morceau → 4 + 2 · (3 − 1) = 8 CHF.
À toi de jouer
Tu as tout suivi ? Vérifie avec ces 5 questions. Pas de stress : chaque réponse vient avec une explication.