Ensembles de nombres — ranger les nombres par familles
Avant de plonger dans les fonctions, une question toute simple : à quelle « famille » de nombres appartient un nombre donné, et comment on note ces familles avec des symboles ? Ce sont les bases dont tout le reste du cours va se servir — notamment la notation des intervalles, déjà utile dès le chapitre suivant.
Les grands ensembles de nombres
Tous les nombres que tu utilises appartiennent à des « familles » emboîtées les unes dans les autres, comme des poupées russes. Chaque famille porte un nom et un symbole (une lettre majuscule spéciale).
ℕ — les entiers naturels :
0, 1, 2, 3, 4… (on compte, sans négatifs ni virgules).
ℤ — les entiers relatifs :
ℕ, plus tous les négatifs : …, −2, −1, 0, 1, 2…
ℚ — les rationnels :
tout nombre qui s'écrit comme une fraction
a/b avec a, b entiers (b ≠ 0) — ça inclut
tous les nombres décimaux qui s'arrêtent ou qui se répètent.
ℝ — les réels :
absolument tous les nombres qu'on rencontre au lycée, y compris les
irrationnels comme √2 ou
π, dont l'écriture décimale ne s'arrête
jamais et ne se répète jamais.
Chaque famille contient la précédente : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Un entier naturel est donc automatiquement un entier relatif, un rationnel et un réel. Ça monte dans un seul sens : tous les entiers sont des rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas des entiers.
√9 a l'air « compliqué » à cause de la racine, mais √9 = 3 : c'est en fait un entier naturel tout simple ! Il faut toujours calculer avant de classer un nombre.
Notation ensembliste
Pour parler des ensembles sans tout réécrire en mots, on utilise quelques symboles. Une fois qu'on les connaît, une phrase entière tient en une ligne.
x ∈ E : « x appartient à
l'ensemble E » (x est un élément de E).
x ∉ E : « x n'appartient pas à E ».
A ⊂ B : « A est inclus
dans B » (tout élément de A est aussi dans B).
A ∪ B : l'union — tous
les éléments qui sont dans A ou dans B (ou les deux).
A ∩ B : l'intersection —
seulement les éléments communs aux deux.
A \ B : la différence —
les éléments de A qui ne sont pas dans B.
∅ : l'ensemble vide, qui
ne contient aucun élément.
Avec A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} et
B = {3 ; 4 ; 5} :
A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ·
A ∩ B = {3 ; 4} ·
A \ B = {1 ; 2}
Les intervalles de ℝ
Un intervalle, c'est un morceau continu de la droite des nombres réels — tous les nombres entre deux bornes. C'est la façon d'écrire proprement la solution d'une inéquation.
Un crochet fermé [ ou ] tourné vers le nombre veut dire « la borne est incluse ». Un crochet ouvert (tourné vers l'extérieur) veut dire « exclue ». Du côté de −∞ et +∞, le crochet est toujours ouvert : l'infini n'est pas un nombre, on ne peut jamais « l'atteindre ».
[−2 ; 5[ contient tous les réels entre −2 (inclus) et 5 (exclu) — donc −2 en fait partie, mais 5 non.
À toi de jouer
Cinq questions pour vérifier que tu as bien classé les familles de nombres.